分析 (Ⅰ)利用向量共線的條件可求12cosA(4c+2b)=-acosB,由正弦定理,三角函數(shù)恒等變換的規(guī)律可得sinC+2sinCcosA=0,由于sinC>0,可求cosA,進(jìn)而可求A的值.
(Ⅱ)由余弦定理,基本不等式可求b+c≤2,即可求得△ABC的周長的最大值.
解答 解:(Ⅰ)(→m-12→p)=(cos2A2−12,cosB)=(12cosA,cosB),
∵(→m-12→p)∥→n,
∴12cosA(4c+2b)=-acosB,
由正弦定理可得(2sinC+sinB)cosA+sinAcosB=0,
即2sinCcosA+(sinBcosA+sinAcosB)=0,
整理可得sinC+2sinCcosA=0.
∵0<C<π,sinC>0,
∴cosA=-12,
∴A=\frac{2π}{3}.
(Ⅱ)由余弦定理,a2=b2+c2-2bccosA,
即3=b2+c2+bc=(b+c)2-bc,可得:bc=(b+c)2-3.
∵bc≤(\frac{b+c}{2})2,
∴\frac{1}{4}(b+c)2≥(b+c)2-3,即\frac{3}{4}(b+c)2≤3,
故b+c≤2.
故△ABC的周長為a+b+c≤\sqrt{3}+2,
當(dāng)且僅當(dāng)b=c=1時,△ABC的周長取得最大值\sqrt{3}+2.
點評 本題主要考查了向量共線的條件,正弦定理,三角函數(shù)恒等變換的規(guī)律,余弦定理,基本不等式在解三角形中的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.
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A. | x1x2<0 | B. | x1x2=1 | C. | x1x2>1 | D. | 0<x1x2<1 |
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A. | \frac{{3\sqrt{6}}}{5} | B. | \frac{{5\sqrt{6}}}{6} | C. | \frac{6}{5} | D. | \frac{5}{6} |
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A. | 4n | B. | 2n | C. | n | D. | 0 |
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A. | 0 | B. | \frac{π}{4} | C. | \frac{π}{2} | D. | π |
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