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4.在△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a,b,c,已知向量m=(cos2A2,cosB),n=(-a,4c+2b),p=(1,0),且(m-12p)∥n
(Ⅰ)求角A的大��;
(Ⅱ)若a=3,求△ABC周長的最大值.

分析 (Ⅰ)利用向量共線的條件可求12cosA(4c+2b)=-acosB,由正弦定理,三角函數(shù)恒等變換的規(guī)律可得sinC+2sinCcosA=0,由于sinC>0,可求cosA,進(jìn)而可求A的值.
(Ⅱ)由余弦定理,基本不等式可求b+c≤2,即可求得△ABC的周長的最大值.

解答 解:(Ⅰ)(m-12p)=(cos2A212,cosB)=(12cosA,cosB),
∵(m-12p)∥n
12cosA(4c+2b)=-acosB,
由正弦定理可得(2sinC+sinB)cosA+sinAcosB=0,
即2sinCcosA+(sinBcosA+sinAcosB)=0,
整理可得sinC+2sinCcosA=0.
∵0<C<π,sinC>0,
∴cosA=-12,
∴A=\frac{2π}{3}
(Ⅱ)由余弦定理,a2=b2+c2-2bccosA,
即3=b2+c2+bc=(b+c)2-bc,可得:bc=(b+c)2-3.
∵bc≤(\frac{b+c}{2}2,
\frac{1}{4}(b+c)2≥(b+c)2-3,即\frac{3}{4}(b+c)2≤3,
故b+c≤2.
故△ABC的周長為a+b+c≤\sqrt{3}+2
當(dāng)且僅當(dāng)b=c=1時,△ABC的周長取得最大值\sqrt{3}+2

點評 本題主要考查了向量共線的條件,正弦定理,三角函數(shù)恒等變換的規(guī)律,余弦定理,基本不等式在解三角形中的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.

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