Question

5．已知O（0，0），A（0，3），M為平面內(nèi)的點(diǎn)．
（1）如果直線x-y+a=0上總存在點(diǎn)M使得MA=2MO，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）已知C（0，-1），MA=2MO，若P（x，y）是直線x-y-4=0上的點(diǎn)，且滿足∠MPC=30°，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出M的軌跡方程，利用直線與圓的位置關(guān)系，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）由x²+（y+1）²=4，可得C是圓心，M是圓上的點(diǎn)，則∠MPC以PM為切線時(shí)最大，在直角三角形PCM中，直角邊CM=2是定值，因此當(dāng)PM為切線時(shí)，且∠MPC=30°時(shí)P點(diǎn)的位置（左右兩個(gè)點(diǎn)）為邊界位置，其它符合題意的點(diǎn)都介于這兩個(gè)點(diǎn)之間，據(jù)此求解．

解答 解：（1）設(shè)M（x，y），
∵M(jìn)A=2MO，
∴x²+（y-3）²=4（x²+y²），
∴x²+y²+2y-3=0，
∴x²+（y+1）²=4，
∵直線x-y+a=0上總存在點(diǎn)M使得MA=2MO，
∴圓心到直線的距離d=$\frac{|1+a|}{\sqrt{2}}$≤2，
∴-1-2$\sqrt{2}$≤a≤-1+2$\sqrt{2}$；
（2）由x²+（y+1）²=4，可得C是圓心，M是圓上的點(diǎn)，則∠MPC以PM為切線時(shí)最大，在直角三角形PCM中，直角邊CM=2是定值，因此當(dāng)PM為切線時(shí)，且∠MPC=30°時(shí)P點(diǎn)的位置（左右兩個(gè)點(diǎn)）為邊界位置，其它符合題意的點(diǎn)都介于這兩個(gè)點(diǎn)之間．
此時(shí)，在三角形PCM中，因?yàn)椤螹PC=30°，且CM=2，所以CP=4，
設(shè)P（x₀，x₀-4），所以CP=$\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+（{x}_{0}-3）^{2}}$=4，
解得x₀=$\frac{3-\sqrt{23}}{2}$或x₀=$\frac{3+\sqrt{23}}{2}$．
故x₀的范圍是[$\frac{3-\sqrt{23}}{2}$，$\frac{3+\sqrt{23}}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的方程、幾何性質(zhì)，通過(guò)分析先將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓的切線問(wèn)題，最終化成點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題．