Question

3．已知函數(shù)f（x）=2${\;}^{1+{x^2}}}$-$\frac{1}{{1+{x^2}}}$，則使得f（2x）＞f（x-3）成立的x的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-3）
• B． （1，+∞）
• C． （-3，-1）
• D． （-∞，-3）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 判斷函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，討論x＞0時，f（x）為增函數(shù)，再由偶函數(shù)的性質(zhì)：f（|x|）=f（x），以及單調(diào)性，可得|2x|＞|x-3|，解不等式即可得到所求解集．

解答 解：函數(shù)f（x）=2${\;}^{1+{x^2}}}$-$\frac{1}{{1+{x^2}}}$，
有f（-x）=f（x），f（x）為偶函數(shù)，
當x＞0時，可得y=2${\;}^{1+{x}^{2}}$遞增，y=-$\frac{1}{{1+{x^2}}}$遞增．
則f（x）在（0，+∞）遞增，
且有f（|x|）=f（x），
則f（2x）＞f（x-3）即為f（|2x|）＞f（|x-3|），
即|2x|＞|x-3|，
則|2x|²＞|x-3|²，
即為（x+3）（3x-3）＞0，
解得x＞1或x＜-3．
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的運用：解不等式，注意運用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和偶函數(shù)的性質(zhì)，考查運算能力，屬于中檔題．