若A、B是橢圓
x2
4
+y2=1上兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OH⊥AB于點(diǎn)H，又OA與OB斜率分別為k1，k2，且滿足k1•k2=-
3
4

（1）求點(diǎn)H的軌跡方程
（2）求△OAB面積的最大值．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）設(shè)H（x0，y0），直線AB的方程為：y-y0=-
x0
y0
(x-x0)，又AB：y=kx+m．從而k=-
x0
y0
，m=
x02+y02
y0
，y=kx+m代入x2+4y2-4=0中，得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出點(diǎn)H軌跡方程．
（2）|x1-x2|=
4
16k2+1-m2
4k2+1
，|AB|=
1+k2
|x1-x2|，O到AB的距離d=
|m|
1+k2
，由此能求出在對(duì)稱軸
1
t
=
16
2×28
=
2
7
時(shí)，S△OAB取最大值SOAB=
11
7
14
．
解答： 解：（1）設(shè)H（x0，y0），OH⊥AB，A（x1，y1），B（x2，y2），
直線AB的方程為：y-y0=-
x0
y0
(x-x0)，
又AB：y=kx+m．∴k=-
x0
y0
，m=
x02+y02
y0
，y≠0，
y=kx+m代入x2+4y2-4=0中，得：
（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，
△=4a2b2（k2a2+b2-m2）=16（4k2+1-m2），
∵y1y2+
3
4
x1x2=0，
∴（kx1+m）（kx2+m）+
3
4
x1x2=0，
∴（k 2+
3
4
）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，
由韋達(dá)定定理代入上式，得：
3m2-4(
3
4
+k2)+m2=0，
m2=
1
4
(4k2+3)=k2+
3
4
，
∴(
x02+y02
y0
)2=(
x0
y0
)2+
3
4
，y0≠0，
∴(x02+y02)2=x02+
3
4
y02，y0≠0，
又k=-
x0
y0
不存在時(shí)，即在y0=0時(shí)，
由k1•k2=-
3
4
知：設(shè)kOA=k1=
3
2
，
kOB=k2=-
3
2
，此時(shí)直線AB：x=±1，H點(diǎn)（±1，0）可取，
∴點(diǎn)H軌跡方程為(x2+y2)2=x2+
3
4
y2，去掉點(diǎn)（0，0）．
（2）|x1-x2|=
4
16k2+1-m2
4k2+1
，|AB|=
1+k2
|x1-x2|，
O到AB的距離d=
|m|
1+k2
，
S△OAB=
1
2
•|AB|•d=
1
2
|x1-x2|•|m|
=2
k2+
3
4
•
(16k2+1)-(k2+
3
4
)
4k2+1
，
(
S△OAB
2
)2=
(k2+
3
4
)(15k2+
1
4
)
(4k2+1)2
，令4k2+1=t≥1，
則(
S△OAB
2
)2=
1
16
(-
28
t2
+
16
t
+15)，
在對(duì)稱軸
1
t
=
16
2×28
=
2
7
時(shí)，S△OAB取最大值，
最大值為SOAB=
11
7
14
，此時(shí)k=±
10
4
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法．考查三角形面積最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓弦長公式的合理運(yùn)用．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax+lnx，其中實(shí)數(shù)a為常數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)a=-l時(shí)，確定f（x）的單調(diào)區(qū)間：
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間（0，e]（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）上的最大值為-3，求a的值；
（Ⅲ）當(dāng)a=-1時(shí)，證明|f(x)|＞
lnx
x
+
1
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC的頂點(diǎn)A是定點(diǎn)，邊BC在定直線l上滑動(dòng)，|BC|=4，BC邊上的高為3，求△ABC的外心M的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直角坐標(biāo)系中，角φ，2x的終邊分別與單位圓（以原點(diǎn)O為圓心）交于A、B兩點(diǎn)，函數(shù)f（x）=
OA
•
OB
，若f（x）≤f（
π
6
）對(duì)任意x∈R恒成立
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的最小正周期，對(duì)稱軸方程與單調(diào)遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=（1+x）2eax（a≠0）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若存在實(shí)數(shù)a＜0，使得f（x）≤kx+k對(duì)任意的x∈[-1，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖在邊長為a的正方形ABCD中，E、F分別為邊BC、CD中點(diǎn)，設(shè)
AE
=
α
，
AF
=
β
．
（1）試用
α
、
β
表示向量
AB
、
AD
；
（2）求向量
α
、
β
夾角的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

一個(gè)棱錐的三視圖如圖1所示，正視圖和側(cè)視圖都是腰長為1的等腰直角三角形，俯視圖是邊長為1的正方形．
（Ⅰ）用圖2虛線圍成的圖形作為該棱錐的底面畫出該棱錐的直觀圖（要求使用直尺和鉛筆，看不到的線畫成虛線，看得到的線畫成實(shí)線，圖形擺放方位與三視圖一致，不要求寫出作圖步驟）；
（Ⅱ）求該棱錐的表面積和體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F(xiàn)，G分別為PC、PD、BC的中點(diǎn)．
（1）求證：PA∥面EFG；
（2）求三棱錐C-EFG的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

大家知道：在平面幾何中，三角形的三條中線相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫三角形的重心，并且重心分中線之比為2：1（從頂點(diǎn)到中點(diǎn)）．據(jù)此，我們拓展到空間：把空間四面體的頂點(diǎn)與對(duì)面三角形的重心的連線叫空間四面體的中軸線，則四條中軸線相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)叫此四面體的重心．類比上述命題，請(qǐng)寫出四面體重心的一條性質(zhì)：
 
．

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