Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F(xiàn)，G分別為PC、PD、BC的中點．
（1）求證：PA∥面EFG；
（2）求三棱錐C-EFG的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（1）根據(jù)面面平行的性質(zhì)推出線面平行；
（2）利用等積法V_C-EFG=V_G-CEF進行求解即可．

解答： （1）證明：∵E、G分別是PC、BC的中點
∴EG是△PBC的中位線
∴EG∥PB
又∵PB?平面PAB，EG?平面PAB
∴EG∥平面PAB
∵E、F分別是PC、PD的中點
∴EF∥CD
又∵底面ABCD為正方形
∴CD∥AB
∴EF∥AB
又∵AB?平面PAB，EF?平面PAB
∴EF∥平面PAB
又EF∩EG=E
∴平面EFG∥平面PAB
∵PA?平面PAB
∴PA∥平面EFG
（2）解：∵底面ABCD為正方形
∴GC⊥CD
∵PD⊥平面ABCD
∴GC⊥PD
又∵CD∩PD=D
∴GC⊥平面PCD
∴GC為三棱錐G-PEF的高
∵PD=AB=2
∴V_C-EFG=V_G-CEF=

1

3

×

1

2

×1×1×1=

1

6

．

點評：本題主要考察了面面平行的判定定理的應用，線線平行、線面平行、面面平行的相互轉化，及利用換頂點求解三棱錐的體積等知識的綜合應用，此類試題也是立體幾何的重點考察的試題類型．