Question

14．在極坐標系中，點A的極坐標是（1，π），點P是曲線C：ρ=2sinθ上的一個動點，則|PA|的取值范圍是$[\sqrt{2}-1，\sqrt{2}+1]$．

Answer 1

分析 點A的極坐標是（1，π），化為直角坐標A（-1，0）．曲線C：ρ=2sinθ，即ρ²=2ρsinθ，把y=ρsinθ，ρ²=x²+y²代入即可化為直角坐標方程．可得圓心C，半徑r．即可得出|PA|的取值范圍是[|CA|-r，|CA|+r]．

解答 解：點A的極坐標是（1，π），化為直角坐標A（-1，0）．
曲線C：ρ=2sinθ，即ρ²=2ρsinθ，化為直角坐標方程：x²+y²=2y，配方為：x²+（y-1）²=1．可得圓心C（0，1），半徑r=1．
則|CA|=$\sqrt{2}$．
則|PA|的取值范圍是$[\sqrt{2}-1，\sqrt{2}+1]$．
故答案為：$[\sqrt{2}-1，\sqrt{2}+1]$．

點評 本題考查了直角坐標與極坐標的互化、兩點之間的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．