Question

如圖，△ABC所在平面上的點P_n（n∈N^*）均滿足△P_nAB與△P_nAC的面積比為3；1，

PnA

=

xn+1

3

PnB

-（2x_n+1）

PnC

（其中，{x_n}是首項為1的正項數(shù)列），則x₅等于
（　　）

• A、65
• B、63
• C、33
• D、31

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,向量的三角形法則

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,平面向量及應(yīng)用

分析：由

PnA

=

xn+1

3

PnB

-（2x_n+1）

PnC

可得

PnA

+（2x_n+1）

PnC

=

xn+1

3

PnB

，畫出圖形后利用三角形面積的關(guān)系得到數(shù)列遞推式，然后構(gòu)造等比數(shù)列得答案．

解答： 解：由

PnA

=

xn+1

3

PnB

-（2x_n+1）

PnC

，
得

PnA

+（2x_n+1）

PnC

=

xn+1

3

PnB

，
設(shè)

PnD

=(2xn+1)

PnC

，
以線段P_nA、P_nD作出圖形如圖，

則

PnA

+(2xn+1)

PC

=

pnE

=

xn+1

3

PnB

，
∴

| PnE |

| PnB |

=

xn+1

3

，∴

S△PnAE

S△PnAB

=

xn+1

3

，
∵

| PnC |

| PnD |

=

|PnC|

|AE|

=

1

1+2xn

，∴

S△PnAC

S△PnAD

=

S△PnAC

S△PnAE

=

1

1+2xn

，
則

S△PnAC

S△PnAB

=

xn+1

3(1+2xn)

=

1

3

，
即x_n+1=2x_n+1，∴x_n+1+1=2（x_n+1），
則{x_n+1}構(gòu)成以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，
∴x5+1=2•24=32，
則x₅=31．
故選：D．

點評：本題考查了平面向量的三角形法則，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用構(gòu)造法構(gòu)造等比數(shù)列，考查了計算能力，屬難題．