Question

20．在圓x²+y²=9上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線段PD，D為垂足，當(dāng)P為圓與y軸交點(diǎn)時(shí)，P與D重合，動(dòng)點(diǎn)M滿足$\overrightarrow{DM}$=2$\overrightarrow{MP}$；
（1）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）拋物線C′的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并以曲線C在y軸正半軸上的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線y=x+3與拋物線C′交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）利用代入法，求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）求出拋物線C′的方程，方程聯(lián)立，利用拋物線的定義，即可求線段AB的長(zhǎng)．

解答 解（1）設(shè)M（x，y），由PD⊥y軸于點(diǎn)D，可設(shè)P（x₀，y），D（0，y）…（1分）
由$\overrightarrow{DM}$=2$\overrightarrow{MP}$得（x，0）=2（x₀-x，0），
∴x=2（x₀-x），即x₀=$\frac{3}{2}$x          …（3分）
∵動(dòng)點(diǎn)P在圓x²+y²=9上
∴${x_0}^2+{y^2}=9$           …（4分）
∴$\frac{9}{4}{x}^{2}+{y}^{2}$=9，即$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1      …（5分）
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1    …（6分）
（2）曲線C在y軸正半軸上的頂點(diǎn)為（0，3），由已知可設(shè)拋物線方程為x²=2py（p＞0）
∵焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），∴$\frac{p}{2}$=3，即p=6
∴拋物線C′的方程為x²=12y    …（8分）
直線y=x+3與拋物線C′交于A，B兩點(diǎn)，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
方程聯(lián)立：y²-18y+9=0…（9分）
∵直線y=x+3經(jīng)過(guò)拋物線焦點(diǎn)F（0，3），
∴|AB|=|AF|+|BF|=y₁+y₂+p=18+6=24…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查代入法的運(yùn)用，考查直線與拋物線位置關(guān)系的運(yùn)用，屬于中檔題．