Question

已知定義在（-1，1）上的函數(shù)f（x）=a+

1

4x+1

是奇函數(shù)．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）解不等式f（t²-2t）+f（2t²-1）＜0．

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用奇函數(shù)的定義，即可求a的值；
（Ⅱ）確定f（x）在R上為減函數(shù)，結(jié)合奇函數(shù)，解不等式f（t²-2t）+f（2t²-1）＜0．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，∴f（x）+f（-x）=0，------------（2分）
即a+

1

4x+1

+a+

1

4-x+1

=2a+

1

4x+1

+

4x

1+4x

=2a+1=0，
故a=-

1

2

．-------------（6分）
（另解：由f（x）是奇函數(shù)，所以f（0）=0，故a=-

1

2

．再由f(x)=-

1

2

+

1

1+4x

=

1-4x

2(1+4x)

，通過驗證f（x）+f（-x）=0來確定a=-

1

2

的合理性，不驗證的-1分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=-

1

2

+

1

4x+1

，∴f（x）在R上為減函數(shù)．------------（7分）
又因是奇函數(shù)，從而不等式f（t²-2t）+f（2t²-1）＜0等價于f（t²-2t）＜-f（2t²-1），
即f（t²-2t）＜f（-2t²+1）-------------（8分）
f（x）在（-1，1）上為減函數(shù)，由上式得：

-1＜t2-2t＜1 -1＜2t2-1＜1 t2-2t＞-2t2+1

，解得1-

2

＜t＜-

1

3

------------（11分）
∴不等式的解集為{t|1-

2

＜t＜-

1

3

}-------------（12分）

點評：本題考查奇偶性與單調(diào)性的綜合，考查解不等式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．