Question

6．對于函數(shù)f（x），若?a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）為某三角形的三邊長，則稱f（x）為“可構(gòu)造三角形函數(shù)”，已知$f（x）=\frac{{{2^x}-t}}{{{2^x}+1}}$是“可構(gòu)造三角形函數(shù)”，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（　　）

• A． [-1，0]
• B． （-∞，0]
• C． [-2，-1]
• D． $[-2，-\frac{1}{2}]$

Answer 1

分析 化簡f（x），討論t的取值，判斷f（a）、f（b）、f（c）能否構(gòu)成一個(gè)三角形的三邊長，從而求出t的取值范圍．

解答 解：$f（x）=\frac{{{2^x}-t}}{{{2^x}+1}}$=$\frac{{2}^{x}+1-t-1}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{t+1}{{2}^{x}+1}$，
①當(dāng)t+1=0即t=-1時(shí)，f（x）=1，
此時(shí)f（a），f（b），f（c）都為1，能構(gòu)成一個(gè)正三角形的三邊長，滿足題意；
②當(dāng)t+1＞0即t＞-1時(shí)，f（x）在R上單調(diào)遞增，
-t＜f（x）＜1，∴-t＜f（a），f（b），f（c）＜1，
由f（a）+f（b）＞f（c）得-2t≥1，
解得-1＜t≤-$\frac{1}{2}$；
③當(dāng)t+1＜0即t＜-1時(shí)，f（x）在R上單調(diào)遞減，
又1＜f（x）＜-t，由f（a）+f（b）＞f（c）得2≥-t，
即t≥-2，所以-2≤t＜-1；
綜上，t的取值范圍是$-2≤t≤-\frac{1}{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的定義與應(yīng)用問題，也考查了三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用問題，是綜合性題目．