Question

17．已知菱形ABCD的邊長為為4，∠ABC=$\frac{π}{3}$，向其內(nèi)部隨機(jī)投放一點(diǎn)P，則點(diǎn)P與菱形各頂點(diǎn)距離均大于1的概率為（　　）

• A． 1-$\frac{\sqrt{3}π}{24}$
• B． 1-$\frac{\sqrt{3}π}{12}$
• C． $\frac{\sqrt{3}π}{24}$
• D． $\frac{\sqrt{3}π}{12}$

Answer 1

分析 根據(jù)幾何概型的概率公式求出對(duì)應(yīng)區(qū)域的面積進(jìn)行求解即可．

解答 解：分別以A，B，C，D為圓心，1為半徑的圓，
則所以概率對(duì)應(yīng)的面積為陰影部分，
則四個(gè)圓在菱形內(nèi)的扇形夾角之和為2π，
則對(duì)應(yīng)的四個(gè)扇形之和的面積為一個(gè)整圓的面積S=π×1²=π，
∵S_菱形ABCD=AB•BCsin$\frac{π}{3}$=4×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=8$\sqrt{3}$，
∴S_陰影=S_菱形ABCD-S_空白=8$\sqrt{3}$-π×1²=8$\sqrt{3}$-π．
因此，該點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離大于1的概率P=$\frac{{S}_{陰影}}{{S}_{菱形}}$=$1-\frac{{\sqrt{3}π}}{24}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查幾何概型的概率的計(jì)算，根據(jù)對(duì)應(yīng)分別求出對(duì)應(yīng)區(qū)域的面積是解決本題的關(guān)鍵．