Question

給出下列五個(gè)結(jié)論：
①函數(shù)f（x）=x-sinx（x∈R）有3個(gè)零點(diǎn)；
②函數(shù)y=log₂（2x+3）的圖象可由函數(shù)y=log₂2x的圖象向左平移3個(gè)單位得到
③若奇函數(shù)f（x）對定義域內(nèi)的任意x都有f（x）=f（2-x），則函數(shù)f（x）是周期函數(shù)；
④函數(shù)y=f（x-2）與函數(shù)y=f（2-x）所對應(yīng)的圖象關(guān)于直線x=2對稱；
⑤對于任意實(shí)數(shù)x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），且x＞0時(shí)，f′（x）＞0，g′（x）＞0（其中f′（x），g′（x）分別是f（x），g（x）的導(dǎo)函數(shù)，則函數(shù)y=f（x）-g（x）在（-∞，0]上單調(diào)遞增．
其中正確結(jié)論的序號是

 

（填上你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序號）．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：①在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)y=sinx與y=x的圖象，利用圖象得結(jié)論．
②根據(jù)圖象的平移即可得出，
③利用奇函數(shù)定義、及題目給的等式f（x）=f（1-x），判斷即可，
④若f（a-x）=f（a+x），則函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=a對稱．
⑤根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)的性質(zhì)關(guān)系以及函數(shù)的奇偶性，即可判斷．

解答： 解對于①：函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是找對應(yīng)兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)y=sinx與y=x的圖象，由圖得交點(diǎn)1個(gè)，故函數(shù)f（x）=sinx-x的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是1．故①錯(cuò)誤，
對于②y=log₂（2x+3）=log₂2（x+

3

2

）=的圖象可由函數(shù)y=log₂2x的圖象向左平移

3

2

個(gè)單位得到，故②錯(cuò)誤．
對于③f（-x）=f[2-（-x）]=f（2+x），又通過奇函數(shù)得f（-x）=-f（x），∴f（2+x）=-f（x），∴f（4+x）=f（x），所以f（x）是周期為4的周期函數(shù)，
對于④若f（a-x）=f（a+x），則函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=a對稱．故④正確
對于⑤根據(jù)題意，f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)；又由奇函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)性相同，偶函數(shù)單調(diào)性相反，所以x＞0時(shí)，f′（x）＞0，g′（x）＜0，所以f′（x）-g′（x）＞0恒成立，所以函數(shù)y=f（x）-g（x）在（-∞，0]上單調(diào)遞增，故⑤正確；
故答案為：③④⑤

點(diǎn)評：本題綜合考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．