Question

18．若數(shù)列{a_n}滿足：a_n+1+（-1）ⁿa_n=n（n∈N^*），則a₁+a₂+…+a₁₀₀=2550．

Answer 1

分析 a_n+1+（-1）ⁿa_n=n（n∈N^*），可得：a₂-a₁=1，a₃+a₂=2，a₄-a₃=3，a₅+a₄=4，a₆-a₅=5，a₇+a₆=6，a₈-a₇=7，…，可得a₃+a₁=1=a₇+a₅=…，a₄+a₂=2+3，a₈+a₆=6+7，a₁₂+a₁₀=10+11，…，利用分組求和即可得出．

解答 解：∵a_n+1+（-1）ⁿa_n=n（n∈N^*），
∴a₂-a₁=1，a₃+a₂=2，a₄-a₃=3，a₅+a₄=4，a₆-a₅=5，a₇+a₆=6，a₈-a₇=7，…，
可得a₃+a₁=1=a₇+a₅=…，∴（a₁+a₃+…+a₉₉）=25．
a₄+a₂=2+3，a₈+a₆=6+7，a₁₂+a₁₀=10+11，…，∴a₂+a₄+…+a₁₀₀=5×25+8×$\frac{25×24}{2}$=2525．
則a₁+a₂+…+a₁₀₀=2550．
故答案為：2550．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系、分組求和，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．