設(shè)A1、A2與B分別是橢圓E：＝1(a＞b＞0)的左、右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)，直線A2B與圓C：x2＋y2＝1相切．

(1)求證：＝1；

(2)P是橢圓E上異于A1、A2的一點(diǎn)，若直線PA1、PA2的斜率之積為－，求橢圓E的方程；

(3)直線l與橢圓E交于M、N兩點(diǎn)，且·＝0，試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系，并說明理由．

 

（1）見解析（2）＝1.（3）直線l與圓C相切

【解析】(1)證明：已知橢圓E：＝1(a>b>0)，A1、A2與B分別為橢圓E的左、右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)，

所以A1(－a，0)，A2(a，0)，B(0，b)，直線A2B的方程是＝1.

因?yàn)锳2B與圓C：x2＋y2＝1相切，所以＝1，即＝1.

(2)【解析】
設(shè)P(x0，y0)，則直線PA1、PA2的斜率之積為kPA1·kPA2＝，＝1，而＝1，所以b2＝a2.結(jié)合＝1，得a2＝4，b2＝.所以橢圓E的方程為＝1.

(3)【解析】
設(shè)點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2)．

①若直線l的斜率存在，設(shè)直線l為y＝kx＋m，由y＝kx＋m代入＝1，得＋＝1.化簡(jiǎn)得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0(Δ>0)．∴x1x2＝，y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝

.因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719471910822173/SYS201411171947234520743341_DA/SYS201411171947234520743341_DA.016.png">·＝0，所以x1x2＋y1y2＝0.代入得(a2＋b2)m2－a2b2(1＋k2)＝0.結(jié)合(1)的＝1，得m2＝1＋k2.圓心到直線l的距離為d＝＝1，所以直線l與圓C相切．

②若直線l的斜率不存在，設(shè)直線l為x＝n.代入＝1，得y＝±b.∴|n|＝b·，∴a2n2＝b2(a2－n2)．解得n＝±1，所以直線l與圓C相切．

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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若圓O：x2＋y2＝5與圓O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直，則線段AB的長(zhǎng)是________．

 

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方程x2＋y2－6x＝0表示的圓的圓心坐標(biāo)是________；半徑是__________．

 

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已知兩直線l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，分別求滿足下列條件的a、b的值．

(1) 直線l1過點(diǎn)(－3，－1)，且l1⊥l2；

(2) 直線l1與l2平行，且坐標(biāo)原點(diǎn)到l1、l2的距離相等．

 

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在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(－1，1)，P是動(dòng)點(diǎn)，且△POA的三邊所在直線的斜率滿足kOP＋kOA＝kPA.

(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程；

(2)若Q是軌跡C上異于點(diǎn)P的一個(gè)點(diǎn)，且＝λ，直線OP與QA交于點(diǎn)M，問：是否存在點(diǎn)P，使得△PQA和△PAM的面積滿足S△PQA＝2S△PAM？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

 

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如圖，橢圓E：＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，離心率e＝.過F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長(zhǎng)為8.

(1)求橢圓E的方程；

(2)設(shè)動(dòng)直線l：y＝kx＋m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線x＝4相交于點(diǎn)Q.試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

 

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(1)求證：A、C、T三點(diǎn)共線；

(2)如果＝3，四邊形APCB的面積最大值為，求此時(shí)橢圓的方程和P點(diǎn)坐標(biāo)．

 

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(1)求橢圓C的方程；

(2)當(dāng)△AMN的面積為時(shí)，求k的值．

 

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若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 _______；

 

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