Question

如圖，橢圓E：＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，離心率e＝.過(guò)F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長(zhǎng)為8.

(1)求橢圓E的方程；

(2)設(shè)動(dòng)直線l：y＝kx＋m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線x＝4相交于點(diǎn)Q.試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

 

Answer 1

（1）＝1（2）存在定點(diǎn)M(1，0)，

【解析】學(xué)生錯(cuò)【解析】
【解析】
(1)略

(2)由消去y得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.

因?yàn)閯?dòng)直線l與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，

即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化簡(jiǎn)得4k2－m2＋3＝0.(*)

此時(shí)x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝，所以P.

由得Q(4，4k＋m)．

假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)M滿足條件，由圖形對(duì)稱性知，點(diǎn)M必在x軸上．

設(shè)M(x1，0)，則·＝0對(duì)滿足(*)式的m，k恒成立．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719471910822173/SYS201411171947224364549049_DA/SYS201411171947224364549049_DA.008.png">＝，＝(4－x1，4k＋m)，

由·＝0，得－－4x1＋＋＋3＝0，

整理，得(4x1－4)＋－4x1＋3＝0.(**)，方程無(wú)解．

故不存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M.

審題引導(dǎo)：(1)建立方程組求解參數(shù)a，b，c；(2)恒成立問(wèn)題的求解；(3)探索性問(wèn)題的一般解題思路．

規(guī)范解答：【解析】
(1)因?yàn)锳B＋AF2＋BF2＝8，

即AF1＋F1B＋AF2＋BF2＝8，(1分)

又AF1＋AF2＝BF1＋BF2＝2a，(2分)

所以4a＝8，a＝2.又因?yàn)閑＝，即＝，所以c＝1，(3分)

所以b＝＝.故橢圓E的方程是＝1.(4分)

(2)由消去y得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.(5分)

因?yàn)閯?dòng)直線l與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，(6分)

即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化簡(jiǎn)得4k2－m2＋3＝0.(*)(7分)

此時(shí)x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝，所以P.(8分)

由得Q(4，4k＋m)．(9分)

假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)M滿足條件，由圖形對(duì)稱性知，點(diǎn)M必在x軸上．(10分)

設(shè)M(x1，0)，則·＝0對(duì)滿足(*)式的m，k恒成立．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719471910822173/SYS201411171947224364549049_DA/SYS201411171947224364549049_DA.023.png">＝，＝(4－x1，4k＋m)，

由·＝0，得－－4x1＋＋＋3＝0，

整理，得(4x1－4)＋－4x1＋3＝0.(**)(12分)

由于(**)式對(duì)滿足(*)式的m，k恒成立，所以解得x1＝1.(13分)

故存在定點(diǎn)M(1，0)，使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M.(14分)

錯(cuò)因分析：本題易錯(cuò)之處是忽視定義的應(yīng)用；在處理第(2)問(wèn)時(shí)，不清楚圓的對(duì)稱性，從而不能判斷出點(diǎn)M必在x軸上．同時(shí)不會(huì)利用恒成立求解．