Question

16．設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（2+x）=f（2-x），當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，f（x）=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）^x-1，若在區(qū)間（-2，6）內(nèi)關(guān)于x的方程f（x）-log _a（x+2）=0，恰有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a（a＞0，a≠1）的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{1}{4}$，1）
• B． （1，4）
• C． （1，8）
• D． （8，+∞）

Answer 1

分析 由題意求得函數(shù)的周期，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，及當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，函數(shù)解析式，畫出函數(shù)f（x）的圖象，則數(shù)y=f（x）與y=log _a（x+2），在區(qū)間（-2，6）上有四個(gè)不同的交點(diǎn)，由對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，即可求得a的取值范圍．

解答 解：對(duì)于任意的x∈R，都有f（2+x）=f（2-x），
∴f（x+4）=f[2+（x+2）]=f[（x+2）-2]=f（x），
∴函數(shù)f（x）是一個(gè)周期函數(shù)，且T=4．
又∵當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，f（x）=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）^x-1，且函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
若在區(qū)間（-2，6）內(nèi)關(guān)于x的方程f（x）-log _a（x+2）=0，恰有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
則函數(shù)y=f（x）與y=log _a（x+2），在區(qū)間（-2，6）上有四個(gè)不同的交點(diǎn)，如下圖所示：

又f（-2）=f（2）=f（6）=1，
則對(duì)于函數(shù)y=log _a（x+2），根據(jù)題意可得，當(dāng)x=6時(shí)的函數(shù)值小于1，
即log _a8＜1，
由此計(jì)算得出：a＞8，
∴a的范圍是（8，+∞），
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性、周期性、函數(shù)的交點(diǎn)及方程的根，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．