Question

如圖正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，下面結(jié)論正確的是

 

（把你認(rèn)為正確的結(jié)論序號(hào)都填上）
①BD₁⊥平面DA₁C₁
②過點(diǎn)B與異面直線AC和A₁D所成角均為60°的有3條直線；
③四面體DA₁D₁C₁與正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的內(nèi)切球半徑之比為

3

3

④與平面DA₁C₁平行的平面與正方體的各個(gè)面都有交點(diǎn)，則這個(gè)截面的周長(zhǎng)為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角,簡(jiǎn)易邏輯

分析：①由于BD₁⊥A₁D，BD₁⊥C₁D，利用線面垂直的判定定理可得BD₁⊥平面DA₁C₁；
②由于異面直線AC和A₁D所成的角為60°，可得過點(diǎn)B與異面直線AC和A₁D所成的角均為60°的直線有且只有2條．
③設(shè)AA₁=a，可求得四面體DA₁D₁C₁內(nèi)切球半徑為

1

3+ 3

a，而正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的內(nèi)切球半徑為

1

2

a，即可得出所求的比．
④將正方體沿D₁A₁、A₁B₁、B₁C、CD、DD₁展開到一個(gè)平面上，如圖所示，易知截面多邊形EFGHIJ的周長(zhǎng)為定值，等于3

2

a（a為正方體的棱長(zhǎng)）．

解答： 解：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，
①由正方體的性質(zhì)可得BD₁⊥A₁C₁，DC₁⊥BD₁，再根據(jù)直線和平面垂直的判定定理可得BD₁⊥平面DA₁C₁，故①正確；
∵AC和A₁D所成角均為60°，將A與A₁D移至B點(diǎn)，可知過點(diǎn)B與異面直線AC和A₁D所成角均為60°的有2條直線，故②錯(cuò)誤；
③設(shè)AA₁=a，可求得四面體DA₁D₁C₁內(nèi)切球半徑為

1

3+ 3

a，而正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的內(nèi)切球半徑為

1

2

a，
故所求的比應(yīng)為1-

3

3

．故③錯(cuò)誤；
④將正方體沿D₁A₁、A₁B₁、B₁C、CD、DD₁展開到一個(gè)平面上，如圖所示，易知截面多邊形EFGHIJ的周長(zhǎng)為定值，
等于3

2

a（a為正方體的棱長(zhǎng)），故④正確．
綜上可知：正確的有①、④．
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了線面平行于垂直的判定定理和性質(zhì)定理、異面直線所成的角、內(nèi)切球的性質(zhì)、展開圖等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．