Question

（本小題滿(mǎn)分12分）已知平面上一定點(diǎn)和一定直線為該平面上一動(dòng)點(diǎn),作,垂足為,且

（1）問(wèn)點(diǎn)在什么曲線上?并求出該曲線的方程;

（2）設(shè)直線與（1）中的曲線交于不同的兩點(diǎn),是否存在實(shí)數(shù),使得以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)?若存在,求出的值,若不存在,說(shuō)明理由.

 

Answer 1

（1）點(diǎn)在雙曲線上,其方程為；（2）.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)條件代入點(diǎn)的坐標(biāo)，化簡(jiǎn)整理得方程為則點(diǎn)在雙曲線上.

（2）聯(lián)立直線與雙曲線的方程消去得到關(guān)于的方程，直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，由，得的范圍，又因?yàn)橐跃�段為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，利用或者得的等式，代入根與系數(shù)關(guān)系得到關(guān)于的方程，求出，檢驗(yàn)滿(mǎn)足，所以存在實(shí)數(shù).

試題解析：（1）設(shè)的坐標(biāo)為,由得

∴

化簡(jiǎn)得 ∴點(diǎn)在雙曲線上,其方程為

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、,由 得

∵與雙曲線交于兩點(diǎn), ∴,即解得

，

∵若為直徑的圓過(guò),則,∴,即,

∴

∴

解得,故存在值為.

考點(diǎn)：1雙曲線的定義和方程；2.直線與雙曲線的綜合問(wèn)題.