Question

13．某廠以x千克/小時(shí)的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品（生產(chǎn)條件要求1≤x≤10），每一小時(shí)可獲得的利潤(rùn)是$50（5x-\frac{3}{x}+1）$元．
（1）要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時(shí)獲得的利潤(rùn)不低于1500元，求x的取值范圍；
（2）要使生產(chǎn)480千克該產(chǎn)品獲得的利潤(rùn)最大，問(wèn)：該廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度？并求此最大利潤(rùn)．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件列出不等式求解即可．
（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)，通過(guò)配方求解函數(shù)的最值即可．

解答 解：（1）根據(jù)題意，
有$100（5x-\frac{3}{x}+1）≥1500$，
得5x²-14x-3≥0，得x≥3或$x≤-\frac{1}{5}$，
又1≤x≤10，得3≤x≤10．
（2）生產(chǎn)480千克該產(chǎn)品獲得的利潤(rùn)為$u=24000（5+\frac{1}{x}-\frac{3}{x^2}）$，1≤x≤10，
記$f（x）=-\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x}+5$，1≤x≤10，
則$f（x）=-3{（\frac{1}{x}-\frac{1}{6}）^2}+\frac{1}{12}+5$
當(dāng)且僅當(dāng)x=6時(shí)取得最大值$\frac{61}{12}$，
則獲得的最大利潤(rùn)為$u=24000×\frac{61}{12}=122000$（元）
故該廠以6千克/小時(shí)的速度生產(chǎn)，可獲得最大利潤(rùn)為122000元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，考查計(jì)算能力．