Question

15．等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知S₁，S₃，S₂成等差數(shù)列．
（1）求{a_n}的公比q；
（2）若a₁-a₃=3，b_n=$\frac{1}{n（n+1）}$+|a_n|，求{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1由等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和公式和等差數(shù)列性質(zhì)列出方程，能求出{a_n}的公比q．
（2）由a₁-a₃=3，得a₁=4，從而${a}_{n}=4×（-\frac{1}{2}）^{n-1}$，進(jìn)而b_n=$\frac{1}{n（n+1）}$+|a_n|=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$+4×$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，由此能求出{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）∵等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S₁，S₃，S₂成等差數(shù)列．
∴依題意有${a}_{1}+（{a}_{1}+{a}_{1}q）=2（{a}_{1}+{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{2}）$，
∵a₁≠0，∴2q²+q=0，
又q≠0，從而q=-$\frac{1}{2}$．
（2）∵a₁-a₃=3，
∴${a}_{1}-{a}_{1}（-\frac{1}{2}）^{2}=3$．解得a₁=4，
∴${a}_{n}=4×（-\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∵b_n=$\frac{1}{n（n+1）}$+|a_n|=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$+4×$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=（1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）+4×（$\frac{1}{{2}^{0}}+\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+••+\frac{1}{{2}^{n-1}}$）
=（1-$\frac{1}{n+1}$）+4×$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$
=$\frac{n}{n+1}$-$\frac{8}{{2}^{n}}$-8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的公比的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．