Question

20．設函數(shù)f（x）=e^x-a（x-1）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2]上存在唯一零點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導函數(shù)，通過（1）若a≤0，（2）若a＞0，利用多導函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，并且求解函數(shù)的極值．
（Ⅱ）通過（1）當a≤0時，利用函數(shù)的單調(diào)性以及零點判定定理說明有零點．（2）當a＞0時，推出x=lna為函數(shù)f（x）的最小值，通過函數(shù)f（x）在區(qū)間上（0，2]上存在唯一零點，列出不等式求解a的范圍．

解答 （本小題共13分）
解：（Ⅰ）f′（x）=e^x-a，--------------------（1分）
（1）若a≤0，則在區(qū)間（-∞，+∞）上f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．所以當a≤0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞），沒有極值點．--------------------（3分）
（2）若a＞0，令f′（x）=0，即e^x=a，解得x=lna，--------------------（4分）
因為函數(shù)f′（x）=e^x-a在區(qū)間（-∞，+∞）是遞增函數(shù)，
所以在區(qū)間（-∞，lna）內(nèi)f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；在區(qū)間（lna，+∞）內(nèi)f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
所以當a＞0時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，lna），f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（lna，+∞）所以當x=lna時，函數(shù)f（x）有極小值為2a-alna．--------------------（6分）
（Ⅱ）（1）當a≤0時，由（Ⅰ）可知，f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，
因為f（0）=1+a，f（1）=e＞0，--------------------（8分）
令f（0）=1+a＜0，得a＜-1．
所以當a＜-1時，f（x）在區(qū)間上（0，2]上存在唯一零點．--------------------（9分）
（2）當a＞0時，由（Ⅰ）可知，x=lna為函數(shù)f（x）的最小值點
因為f（0）=1+a＞0，若函數(shù)f（x）在區(qū)間上（0，2]上存在唯一零點，則只能是：
①$\left\{\begin{array}{l}f（lna）=0\\ 0＜lna≤2\end{array}\right.$，或②$\left\{\begin{array}{l}f（2）≤0\\ lna＞2\end{array}\right.$．--------------------（11分）
由①得a=e²；由②得a＞e²．
綜上所述，函數(shù)f（x）在區(qū)間上（0，2]上存在唯一零點，
則a＜-1或a≥e²．--------------------（13分）

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的綜合應用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值，函數(shù)的零點判定定理的應用，考查分析問題解決問題的能力．