Question

設(shè){a_n}是公比大于1的等比數(shù)列，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若S₃=7，且a₁，a₂+1，a₃+1構(gòu)成等差數(shù)列；
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令b_n=lna_2n+1（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知得

a1+a2+a3=7 a1+(a3+1)=2(a2+1)

，解得a₂=1，從而a1=

2

q

，a3=2q，進(jìn)而2q²-5q+2=0，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由b_n=lna_2n+1=ln2²ⁿ=2nln2，得b_n+1-b_n=2（n+1）ln2-2nln2=2ln2，由此利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式能求出T_n．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得

a1+a2+a3=7 a1+(a3+1)=2(a2+1)

，
解得a₂=1，
設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，由a₂=2，得a1=

2

q

，a3=2q，
由S₃=7，得

2

q

+2+2q=7，∴2q²-5q+2=0，
解得q=2或q=

1

2

（不合題意，舍去），
∵a₁=1，q=2，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2^n-1．
（Ⅱ）∵b_n=lna_2n+1=ln2²ⁿ=2nln2，
∴b_n+1-b_n=2（n+1）ln2-2nln2=2ln2，
∴{b_n}是等差數(shù)列，
∴T_n=

n

2

(b1+bn)=

n(2ln2+2nln2)

2

=n（n+1）ln2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．