Question

在平面直角坐標系xOy中，點P是圓x²+y²=4上一動點，PD⊥x軸于點D，記滿足

OM

=

1

2

（

OP

+

OD

）的動點M的軌跡為Γ．
（Ⅰ）求軌跡Γ的方程；
（Ⅱ）已知直線l：y=kx+m與軌跡F交于不同兩點A，B，點G是線段AB中點，射線OG交軌跡F于點Q，且

OQ

=λ

OG

，λ∈R．
①證明：λ²m²=4k²+1；
②求△AOB的面積S（λ）的解析式，并計算S（λ）的最大值．

Answer 1

考點：軌跡方程,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用代入法求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由直線代入橢圓方程，消去y，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，由此利用根的判別式、韋達定理、中點坐標公式，結(jié)合已知條件能證明結(jié)論．
②由已知條件得m≠0，|x₁-x₂|=

4 1+4k2-m2

1+4k2

，由此能求出△AOB的面積，再利用基本不等式求最大值．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)M（x，y），P（x₀，y₀），則D（x₀，0），且x₀²+y₀²=4，①
∵

OM

=

1

2

（

OP

+

OD

），
∴x₀=x，y₀=2y，②
②代入①可得x²+4y²=4；
（Ⅱ）①證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由直線代入橢圓方程，消去y，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
∴x₁+x₂=

-8km

1+4k2

，x₁x₂=

4m2-4

1+4k2

（1）
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=

2m

1+4k2

，
又由中點坐標公式，得G（

-4km

1+4k2

，

m

1+4k2

），
將Q（

-4λkm

1+4k2

，

λm

1+4k2

）代入橢圓方程，化簡，得λ²m²=1+4k²，（2）．
②解：由（1），（2）得m≠0，λ＞1且|x₁-x₂|=

4 1+4k2-m2

1+4k2

，（3）
結(jié)合（2）、（3），得S_△AOB=

2 λ2-1

λ2

，λ∈（1，+∞），
令

λ2-1

=t∈（0，+∞），則S=

2t

t2+1

≤

2

t+ 1 t

≤1（當(dāng)且僅當(dāng)t=1即λ=

2

時取等號），
∴λ=

2

時，S取得最大值1．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查方程的證明，考查三角形面積的求法，解題時要認真審題，注意弦長公式的合理運用．