Question

8．如圖，以銳角△ABC的邊BC為直徑的半圓分別與AC、AB交于點(diǎn)D、E，BD、CE的交點(diǎn)為H，且BC=2．
（Ⅰ）證明：AB•CD=BD•HC；
（Ⅱ）求BE•BA+CD•CA的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明△BAD∽△CHD，即可證明AB•CD=BD•HC；
（Ⅱ）延長AH交BC于F，AF⊥BC，A，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓，A，B，F(xiàn)，D四點(diǎn)共圓，由割線定理得BE•BA=BF•BC，CD•CA=CF•CB，即可求BE•BA+CD•CA的值．

解答 （Ⅰ）證明：因?yàn)橐訠C為直徑的半圓分別與AC，AB交于點(diǎn)D，E
所以∠BDC=∠ADB=90°，
所以 A，E，H，D四點(diǎn)共圓
所以∠BAD=∠CHD
所以△BAD∽△CHD（AA）
所以$\frac{AB}{HC}=\frac{BD}{CD}$，所以AB•CD=BD•HC；
（Ⅱ）解：∵BC是直徑，∴BD⊥AC，CE⊥AB，
∴H為△ABC的垂心，
故延長AH交BC于F，AF⊥BC，
∴A，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓，A，B，F(xiàn)，D四點(diǎn)共圓，
由割線定理得BE•BA=BF•BC，CD•CA=CF•CB，
兩式相加可得BE•BA+CD•CA=BF•BC+CF•CB=BC²=4
∴所求代數(shù)式的值是4．

點(diǎn)評 本題考查三角形相似的判定與性質(zhì)，考查四點(diǎn)共圓，考查割線定理的運(yùn)用，屬于中檔題．