Question

3．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)A（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），且點(diǎn)A到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為4，則該橢圓的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由橢圓的定義分析可得a=2，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入橢圓方程可得$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{\frac{1}{4}}{^{2}}$=1，由a的值解可得b的值，計(jì)算可得c的值，由橢圓離心率公式計(jì)算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，橢圓上A到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為4，則2a=4，即a=2，
又由橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1經(jīng)過點(diǎn)A（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），則有$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{\frac{1}{4}}{^{2}}$=1，
又由a=2，解可得b=1，
則c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{3}$，
則該橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，要掌握橢圓的定義以及離心率的計(jì)算公式．