Question

7．已知等差數(shù)列{a_n}的公差d＜0，a₂+a₆=10，a₂a₆=21．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$，記數(shù)列{b_n}前n項的乘積為T_n，求T_n的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知列式求得首項和公差，則數(shù)列{a_n}的通項公式可求；
（Ⅱ）求出等差數(shù)列的前n項和，利用配方法求得前n項和的最大值，則T_n的最大值可求．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得，$\left\{\begin{array}{l}{（{a}_{1}+d）+（{a}_{1}+5d）=10}\\{（{a}_{1}+d）（{a}_{1}+5d）=21}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=8}\\{d=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{d=1}\end{array}\right.$（舍）．
∴a_n=a₁+（n-1）d=9-n；
（Ⅱ）${T}_{n}=_{1}_{2}…_{n}={2}^{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}={2}^{{S}_{n}}$，
由（Ⅰ）得，${S}_{n}=n{a}_{1}+\frac{n（n-1）d}{2}=-\frac{{n}^{2}}{2}+\frac{17n}{2}$=$-\frac{1}{2}（n-\frac{17}{2}）^{2}+\frac{289}{8}$，
∴當n=8或n=9時，S_n取到最大值36．
∴T_n的最大值為2³⁶．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式，考查了等差數(shù)列的前n項和，是基礎的計算題．