Question

17．已知函數(shù)f（x）=x|x-a|+b，x∈R．
（1）當(dāng)a=1，b=0時(shí)，判斷f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）當(dāng)a=1，b=1時(shí)，若f（2^x）=$\frac{5}{4}$，求x的值；
（3）若b=-1且對(duì)任何x∈（0，1]，不等式f（x）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）代入a，b值，直接根據(jù)定義判斷即可；
（2）代入a，b得出2^x|2^x-1|+1=$\frac{5}{4}$，利用換元令t=2^x，t＞0，逐步求解即可；
（3）不等式可轉(zhuǎn)化為|x-a|＜$\frac{1}{x}$，根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)可得出x-$\frac{1}{x}$＜a＜x+$\frac{1}{x}$恒成立，故只需求出左式的最大值和右式的最小值即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=1，b=0時(shí)，
f（x）=x|x-1|，
f（-x）=-x|x+1|≠±f（x），
∴函數(shù)沒有奇偶性；
（2）當(dāng)a=1，b=1時(shí)，
f（x）=x|x-1|+1，若f（2^x）=$\frac{5}{4}$，
∴2^x|2^x-1|+1=$\frac{5}{4}$，
令t=2^x，t＞0，
當(dāng)t＞1時(shí)，t（t-1）=$\frac{1}{4}$，
∴t=$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$，
∴x=log₂（1+$\sqrt{2}$）-1；
當(dāng)t＜1時(shí)，
t（1-t）=$\frac{1}{4}$，
不成立，
∴x=log₂（1+$\sqrt{2}$）-1；
（3）若b=-1且對(duì)任何x∈（0，1]，不等式f（x）＜0恒成立，
∴|x-a|＜$\frac{1}{x}$，
∴x-$\frac{1}{x}$＜a＜x+$\frac{1}{x}$恒成立，
∴0＜a＜2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性的判斷和換元法的應(yīng)用，絕對(duì)值不等式和恒成立問題的轉(zhuǎn)換，綜合性較強(qiáng)．