Question

5．在直角坐標系中，以O為極點，x軸的正半軸為極軸，且兩坐標系取相同的長度單位．已知圓C的極坐標方程是ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$），且直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=-1+2\sqrt{2t}}\end{array}\right.$（t為參數），直線l和圓C交于A，B兩點，P是圓C上不同于A，B的任意一點，
（1）求圓C的圓心的極坐標；
（2）求三角形PAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用y=ρsinθ，x=ρcosθ，將C的極坐標方程化成直角坐標方程，可得圓C的圓心的極坐標；
（2）求出P到直線AB距離的最大值，|AB|，即可求三角形PAB面積的最大值．

解答 解：（1）圓C的極坐標方程是ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$），化為ρ=2cosθ-2sinθ，
∴ρ²=2ρcosθ-2ρsinθ，
由ρcosθ=x，ρsinθ=y，得x²+y²-2x+2y=0，即（x-1）²+（y+1）²=2，
∴圓心坐標為（1，-1），極坐標為（$\sqrt{2}$，$\frac{7π}{4}$）；
（2）直線的普通方程為2$\sqrt{2}$x-y-1=0，
圓心到直線l的距離為d=$\frac{|2\sqrt{2}+1-1|}{3}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴弦長|AB|=2$\sqrt{2-\frac{8}{9}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$，
∵P到直線AB距離的最大值為$\sqrt{2}$+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{5\sqrt{2}}{3}$，
∴三角形PAB面積的最大值為$\frac{1}{2}×\frac{2\sqrt{10}}{3}×\frac{5\sqrt{2}}{3}=\frac{10\sqrt{5}}{9}$．

點評 本題是中檔題，考查極坐標方程與直角坐標方程的互化，點到直線的距離公式的應用，考查計算能力．