Question

12．在△ABC中，∠A=45°，AB=3，AC=2$\sqrt{2}$，M、N分別為AB、BC的中點(diǎn)，P為AC上任一點(diǎn)，則$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{NP}$的最小值是（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{3}{8}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{5}{8}$

Answer 1

分析 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB所在的直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，表示出各點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x），0≤x≤2，表示出$\overrightarrow{MP}$=（x-$\frac{3}{2}$，x），$\overrightarrow{NP}$=（x-$\frac{5}{2}$，x-1），根據(jù)向量的數(shù)量積和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出．

解答 解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB所在的直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
∵∠A=45°，AB=3，AC=2$\sqrt{2}$，M、N分別為AB、BC的中點(diǎn)，
∴A（0，0），B（3，0），C（2，2），M（$\frac{3}{2}$，0），N（$\frac{5}{2}$，1），
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x），0≤x≤2，
則$\overrightarrow{MP}$=（x-$\frac{3}{2}$，x），$\overrightarrow{NP}$=（x-$\frac{5}{2}$，x-1），
∴$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{NP}$=（x-$\frac{3}{2}$）（x-$\frac{5}{2}$）+x（x-1）
=2x²-5x+$\frac{15}{4}$=2（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{5}{8}$
當(dāng)x=$\frac{5}{2}$時(shí)，$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{NP}$取得最小值為$\frac{5}{8}$，
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的數(shù)量積的運(yùn)算和二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是構(gòu)造平面直角坐標(biāo)系，屬于中檔題．