Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱BB1⊥底面ABC，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=2，且E是BC中點．
（I）求錐體A₁-B₁C₁EB的體積；
（Ⅱ）求證：B₁C⊥AC₁．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（I）由已知推導出AE⊥平面B₁C₁EB，BE=AE=

1

2

BC=

2

，由此利用V=

1

3

×AE×

1

2

(BE+B1C1)×B1B，能求出錐體A₁-B₁C₁BE的體積．
（Ⅱ）由已知推導出AE⊥BC，AE⊥BB₁，從而AE⊥平面BCC₁B₁，進而AE⊥B₁C，由此能證明B₁C⊥AC₁．

解答： （本小題滿分12分）
（I）解：∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱BB1⊥底面ABC，∠BAC=90°，
AB=AC=AA₁=2，且E是BC中點，
∴AE⊥BC，AE⊥AA₁，∴AE⊥平面B₁C₁EB，
BE=AE=

1

2

BC=

1

2

4+4

=

2

，
 錐體A₁-B₁C₁BE的體積
V=

1

3

×AE×

1

2

(BE+B1C1)×B1B
=

1

3

×

2

×

1

2

(

2

+2

2

)×2=2．
（Ⅱ）證明：因為AB=AC，又E為CB中點，所以AE⊥BC，
又因為在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁底面ABC，
又AE?底面ABC，所以AE⊥BB₁，
又因為BB₁∩BC=B，所以AE⊥平面BCC₁B₁，
又B₁C?平面BCC₁B₁，所以AE⊥B₁C，
∵△B₁C₁C與△C₁CE相似，
∴B₁C⊥EC₁，∴B₁C⊥面AEC₁，∴B₁C⊥AC₁．

點評：本題考查錐體體積的求法，考查異面直線垂直的證明，是中檔題，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．