Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F(xiàn)₁（-1，0）、F₂（1，0）是橢圓的左右焦點(diǎn)，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)（1，

3

2

）．
（1）求該橢圓方程；
（2）過點(diǎn)F₁且傾斜角等于

3

4

π的直線l，交橢圓于M、N兩點(diǎn)，求△MF₂N的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出

a2=b2+1 1 a2 + 9 4b2 =1

，由此能求出橢圓方程．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線l：y=-x-1．由

y=-x-1 x2 4 + y2 3 =1

，得7x²+8x-8=0，由此利用韋達(dá)定理和弦長公式能求出△MF₂N的面積．

解答： 解：（1）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F(xiàn)₁（-1，0）、F₂（1，0）是橢圓的左右焦點(diǎn)，
且橢圓經(jīng)過點(diǎn)（1，

3

2

），
∴

a2=b2+1 1 a2 + 9 4b2 =1

，解得a²=4，b²=3，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．…6分
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線l：y=-x-1．…8分
由

y=-x-1 x2 4 + y2 3 =1

，得7x²+8x-8=0，…10分
△＞0，x1+x2=-

8

7

，x1x2=-

8

7

，
S△MF2N=

1

2

|F₁F₂||y₁-y₂|
=|y₁-y₂|=|（-x₁-1）-（-x₂-1）|=|x₂-x₁|
=

(x2+x1)2-4x1x2

=

(- 8 7 )2+4× 8 7

=

12 2

7

．…14分．

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓弦長公式的合理運(yùn)用．