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6.數列{an}滿足:an+2=qan(q≠1,n∈N*),a1=1,a2=3,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差數列.
(Ⅰ)求q的值,并求a3,a5的值;
(Ⅱ)求數列{an}的通項公式;
(Ⅲ)設bn=$\frac{lo{g}_{3}{a}_{2n}}{{a}_{2n-1}}$,求數列{bn}的前n項和Sn

分析 (I)由a n+2=qan(q≠1,n∈N*),a1=1,a2=3,可得a3=q,a4=3q,a5=q2,由于a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差數列,可得a2+a3+a4+a5=2(a3+a4),代入解得q即可得出.
(II)由(I)可得:數列{an}的奇數項與偶數項分別成等比數列,公比為3.利用等比數列的通項公式即可得出.
(III)由(II)可得:bn=$\frac{lo{g}_{3}{a}_{2n}}{{a}_{2n-1}}$=$\frac{n}{{3}^{n-1}}$,利用“錯位相減法”與等比數列的求和公式即可得出.數列{bn}的前n項和Sn

解答 解:(I)∵a n+2=qan(q≠1,n∈N*),a1=1,a2=3,
∴a3=q,a4=3q,a5=q2
∵a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差數列,∴a2+a3+a4+a5=2(a3+a4),
∴3+q+3q+q2=2(q+3q),化為:a2-4q+3=0,q≠1,解得q=3.
∴a3=3,a5=9.
(II)由(I)可得:數列{an}的奇數項與偶數項分別成等比數列,公比為3.
∴a2k-1=3k-1,a2k=3×3k-1=3k
∴an=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{k-1},n=2k-1}\\{{3}^{k},n=2k}\end{array}\right.$,(k∈N*).
(III)由(II)可得:bn=$\frac{lo{g}_{3}{a}_{2n}}{{a}_{2n-1}}$=$\frac{n}{{3}^{n-1}}$,
∴數列{bn}的前n項和Sn=1+$\frac{2}{3}$+$\frac{3}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n}{{3}^{n-1}}$,
$\frac{1}{3}{S}_{n}$=$\frac{1}{3}+\frac{2}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{3}^{n-1}}$+$\frac{n}{{3}^{n}}$,
相減可得:$\frac{2}{3}$Sn=1+$\frac{1}{3}$$+(\frac{1}{3})^{2}$+…+$(\frac{1}{3})^{n-1}$-$\frac{n}{{3}^{n}}$=$\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{n}{{3}^{n}}$,
∴Sn=$\frac{9}{4}$-$\frac{3+2n}{4×{3}^{n-1}}$.

點評 本題考查了數列遞推關系、等比數列與等差數列的通項公式與求和公式、“錯位相減法”,考查了分類討論方法、推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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