Question

16．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），圓O的極坐標方程為ρ=$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{π}{4}$）．
（Ⅰ）將直線l與圓O的方程化為直角坐標方程，并證明直線l過定點P（$\frac{1}{2}$，1）；
（Ⅱ）設(shè)直線l與圓O相交于A、B兩點，求證：點P到A、B兩點的距離之積為定值．

Answer 1

分析 （I）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得普通方程，即可證明經(jīng)過定點；圓O的極坐標方程為ρ=$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{π}{4}$），展開可得：${ρ}^{2}=\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρcosθ+ρsinθ），利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$及其ρ²=x²+y²即可得出直角坐標方程．
（II）把直線l的標準參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+\frac{2}{\sqrt{6}}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}t}\end{array}\right.$代入⊙O的方程：x²+y²=x+y，化為：${t}^{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}$t-$\frac{1}{4}$=0，可得t₁t₂=-$\frac{1}{4}$．利用|PA||PB|=|t₁t₂|即可得出．

解答 （I）解：直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得：$x-\frac{1}{2}$=$\sqrt{2}$（y-1），可知直線l過定點P（$\frac{1}{2}$，1），化為一般式：$2x-2\sqrt{2}y$+2$\sqrt{2}$-1=0；
圓O的極坐標方程為ρ=$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{π}{4}$），展開可得：${ρ}^{2}=\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρcosθ+ρsinθ），化為：x²+y²=x+y．
（II）證明：把直線l的標準參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+\frac{2}{\sqrt{6}}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}t}\end{array}\right.$代入⊙O的方程：x²+y²=x+y，化為：${t}^{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}$t-$\frac{1}{4}$=0，
∴t₁t₂=-$\frac{1}{4}$．
∴|PA||PB|=|t₁t₂|=$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了極坐標化為直角坐標方程的方法、直線參數(shù)方程的應用、圓的方程，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．