Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=px-$\frac{p}{x}$-2lnx．
（Ⅰ）若p=1，函數(shù)y=f（x）是否有極值，若有，請求出極值，若沒有，請說明理由．
（Ⅱ）若f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把p=1代入確定出函數(shù)y=f（x）解析式，求出導(dǎo)函數(shù)，即可做出判斷；
（Ⅱ）求出f（x）導(dǎo)函數(shù)f′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$（px²-2x+p），以及定義域，設(shè)h（x）=px²-2x+p，要使y=f（x）在（0，+∞）單調(diào)，只需h（x）≥0或h（x）≤0恒成立，分p＜0，p=0，p＞0三種情況求出p的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）把p=1代入得：f（x）=x-$\frac{1}{x}$-2lnx，
∴f′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$=（$\frac{1}{x}$-1）²≥0，
∴函數(shù)y=f（x）沒有極值；
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$（px²-2x+p），定義域為（0，+∞），
令h（x）=px²-2x+p，
要使y=f（x）在（0，+∞）單調(diào)，只需h（x）≥0或h（x）≤0恒成立，
當p=0時，h（x）=-2x，此時f′（x）＜0，函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減；
當p＞0時，h（x）_min=h（$\frac{1}{p}$）≥0，即p-$\frac{1}{p}$≥0，
解得：p≥1；
當p＜0時，h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，又h（0）=p＜0，滿足題意，
綜上，實數(shù)p的取值范圍是p≥1或p≤0．

點評 此題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．