Question

20．已知x=$\frac{π}{12}$是函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+φ）+cos（2x+φ）（0＜φ＜π）圖象的一條對稱軸，將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{3π}{4}$個單位后得到函數(shù)g（x）的圖象，則函數(shù)g（x）在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]上的最小值為（　　）

• A． -2
• B． -1
• C． -$\sqrt{2}$
• D． -$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用兩角和差的正弦公式化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象的對稱性，求得函數(shù)的解析式．根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)g（x）在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]上的最小值．

解答 解：已知x=$\frac{π}{12}$是函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+φ）+cos（2x+φ）=2sin（2x+φ+$\frac{π}{6}$）（0＜φ＜π）圖象的一條對稱軸，
∴2×$\frac{π}{12}$+φ+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，∴φ=$\frac{π}{6}$，即f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
將函數(shù)f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）的圖象向右平移$\frac{3π}{4}$個單位后，
得到函數(shù)g（x）=2sin[2（x-$\frac{3π}{4}$）+$\frac{π}{3}$]=2sin（2x-$\frac{7π}{6}$）=2sin（2x-$\frac{7π}{6}$）=-2sin（2x-$\frac{π}{6}$）的圖象，
在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]上，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，故當2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$時，g（x）取得最小值為-1，
故選：B．

點評 本題主要考查兩角和差的正弦公式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對稱性，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．