Question

9．若sinx＜ax對x∈（0，$\frac{π}{2}$）恒成立，則a的最小值為（　�。�

• A． 1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{π}{2}$
• D． $\frac{2}{π}$

Answer 1

分析 方法一、設(shè)函數(shù)f（x）=sinx-ax（對x∈（0，$\frac{π}{2}$）），求出導(dǎo)數(shù)，討論a的范圍，判斷單調(diào)性，可得f（x）的范圍，即可得到a的范圍；
方法二、由題意可得a＞$\frac{sinx}{x}$在x∈（0，$\frac{π}{2}$）恒成立，由g（x）=$\frac{sinx}{x}$，判斷g（x）與1的大小，運用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，即可得到g（x）＜1，進(jìn)而得到a的范圍和最小值．

解答 解法一、設(shè)函數(shù)f（x）=sinx-ax（對x∈（0，$\frac{π}{2}$）），
導(dǎo)數(shù)f′（x）=cosx-a，
當(dāng)a≥1，由cosx∈（0，1），可得f′（x）＜0，f（x）遞減，
即有f（x）＜f（0）=0，滿足條件；
當(dāng)a＜1時，存在x∈（0，x₀），f（x）為增函數(shù)，
即有f（x）＞f（0）=0，不滿足條件．
則a的最小值為1．
解法二、由sinx＜ax對x∈（0，$\frac{π}{2}$）恒成立，
即為a＞$\frac{sinx}{x}$在x∈（0，$\frac{π}{2}$）恒成立，
由g（x）=$\frac{sinx}{x}$，g（x）-1=$\frac{sinx-x}{x}$，
由（sinx-x）′=cosx-1，
可得cosx-1＜0，則sinx-x在（0，$\frac{π}{2}$）遞減，
即有sinx-x＜0，可得g（x）＜1，
則a≥1成立．即a的最小值為1．
故選：A．

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題的解法，注意運用轉(zhuǎn)化思想和構(gòu)造函數(shù)法，運用函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．