Question

7．觀察下列等式：
$\frac{{1}^{2}}{1×3}$=$\frac{1}{3}$，
$\frac{{1}^{2}}{1×3}$+$\frac{{2}^{2}}{3×5}$=$\frac{3}{5}$，
$\frac{{1}^{2}}{1×3}$+$\frac{{2}^{2}}{3×5}$+$\frac{{3}^{2}}{5×7}$=$\frac{6}{7}$，
$\frac{{1}^{2}}{1×3}$+$\frac{{2}^{2}}{3×5}$+$\frac{{3}^{2}}{5×7}$+$\frac{{4}^{2}}{7×9}$=$\frac{10}{9}$．
…
根據(jù)以上等式，可猜想出第n個(gè)等式為$\frac{{1}^{2}}{1×3}$+$\frac{{2}^{2}}{3×5}$+$\frac{{3}^{2}}{5×7}$+…+$\frac{{n}^{2}}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{\frac{n（n+1）}{2}}{2n+1}$．

Answer 1

分析 觀察已知中的等式：分析出等式兩邊分母和分子中各項(xiàng)的變化規(guī)律，可得答案．

解答 解：觀察已知中的等式：
$\frac{{1}^{2}}{1×3}$=$\frac{1}{3}$，
$\frac{{1}^{2}}{1×3}$+$\frac{{2}^{2}}{3×5}$=$\frac{3}{5}$，
$\frac{{1}^{2}}{1×3}$+$\frac{{2}^{2}}{3×5}$+$\frac{{3}^{2}}{5×7}$=$\frac{6}{7}$，
$\frac{{1}^{2}}{1×3}$+$\frac{{2}^{2}}{3×5}$+$\frac{{3}^{2}}{5×7}$+$\frac{{4}^{2}}{7×9}$=$\frac{10}{9}$．
…
歸納可得：等式左邊有n個(gè)分式，
分母的第一項(xiàng)為1，3，5，…，2n-1，
分母的第二項(xiàng)為3，5，7，…，2n+1，
分子為：1²，2²，3²，…，n²，
等式右邊的分母為：2n+1，分子為：1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
故第n個(gè)等式為：$\frac{{1}^{2}}{1×3}$+$\frac{{2}^{2}}{3×5}$+$\frac{{3}^{2}}{5×7}$+…+$\frac{{n}^{2}}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{\frac{n（n+1）}{2}}{2n+1}$．
故答案為：$\frac{{1}^{2}}{1×3}$+$\frac{{2}^{2}}{3×5}$+$\frac{{3}^{2}}{5×7}$+…+$\frac{{n}^{2}}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{\frac{n（n+1）}{2}}{2n+1}$

點(diǎn)評 歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．