Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x≤0}\\{{-x}^{2}，x＞0}\end{array}\right.$，不等式f（ax²）+f（1-ax）＜0對(duì)任意的x∈R都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（　�。�

• A． （0，4）
• B． （-4，0）
• C． [0，4）
• D． [0，4]

Answer 1

分析 作出函數(shù)f（x）的圖象，利用圖象法判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：作出f（x）的圖象如圖
則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且為減函數(shù)，
則不等式f（ax²）+f（1-ax）＜0等價(jià)為f（ax²）＜-f（1-ax）=f（ax-1），
即ax²＞ax-1，
即ax²-ax+1＞0恒成立，
若a=0，則不等式等價(jià)為1＞0，不等式成立，
若a≠0，若ax²-ax+1＞0恒成立，
則滿足$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={a}^{2}-4a＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{0＜a＜4}\end{array}\right.$，即0＜a＜4，
綜上0≤a＜4，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式恒成立問題，利用條件作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．