Question

12．已知a，b均為正數(shù)，且a+b=1，那么$\frac{3}{a}+\frac{4}$的最小值是$7+4\sqrt{3}$，此時(shí)$\frac{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

Answer 1

分析 本題屬于基本不等式常規(guī)題型--換“1”法的應(yīng)用．利用$\frac{3}{a}+\frac{4}$=$（\frac{3}{a}+\frac{4}）×1$=$（\frac{3}{a}+\frac{4}）•（a+b）$ 來(lái)求解．

解答 解：由題意知：a＞0，b＞0，a+b=1
$\frac{3}{a}+\frac{4}$=$（\frac{3}{a}+\frac{4}）×1$
=$（\frac{3}{a}+\frac{4}）•（a+b）$
=7+$\frac{3b}{a}+\frac{4a}$
≥7+2$\sqrt{\frac{3b}{a}•\frac{4a}}$
=7+4$\sqrt{3}$
當(dāng)且僅當(dāng) $\frac{3b}{a}=\frac{4a}$時(shí)，$\frac{3}{a}+\frac{4}$取得最小值7+4$\sqrt{3}$．
∴令 $t=\frac{a}＞0$，即有 $\frac{3}{t}=4t$⇒$t=±\frac{\sqrt{3}}{2}$（負(fù)舍）．
∴$\frac{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
故答案為：7+4$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$

點(diǎn)評(píng) 基本不等式換“1”法是解決不等式求最值得一種常用方法．