【題目】如圖(1),平面直角坐標(biāo)系中,的方程為
,
的方程為
,兩圓內(nèi)切于點
,動圓
與
外切,與
內(nèi)切.
(1)求動圓圓心
的軌跡方程;
(2)如圖(2),過點作
的兩條切線
,若圓心在直線
上的
也同時與
相切,則稱
為
的一個“反演圓”
(�。┊�(dāng)時,求證:
的半徑為定值;
(ⅱ)在(�。┑臈l件下,已知均與
外切,與
內(nèi)切,且
的圓心為
,求證:若
的“反演圓”
相切,則
也相切。
【答案】(1)(2)(�。┰斠娊馕觯áⅲ┰斠娊馕�
【解析】
(1)設(shè)的半徑為
,根據(jù)題意得到
,
,根據(jù)橢圓定義,即可判斷出
點軌跡,從而求出軌跡方程;
(2)(�。┰O(shè),得到
的半徑為
,設(shè)
,由題意得到
,過
點的
的切線方程為
,由點到直線距離公式,得到
到切線的距離以及
到切線
的距離,再由
,即可證明結(jié)論成立;
(ⅱ)由的圓心為
,得到
在軌跡
上,此時
的半徑為
,其反演圓
圓心為
,半徑為
,再由題意,得到與
相切的反演圓
的圓心為
,或
,半徑為
;分別討論
的圓心為
,以及
的圓心為
兩種情況,即可證明結(jié)論成立.
(1)由題意,設(shè)的半徑為
,
與
內(nèi)切,
,
與
外切,
,
,
由橢圓的定義,
點在橢圓上運動,
,
,
,
其軌跡方程為.
(2)(�。┰O(shè),此時
的半徑為
,
設(shè),
則為
與
的交點,其坐標(biāo)為
,
設(shè)過點的
的切線方程為
,
到切線的距離
,
到切線
的距離為:
,
,
,
當(dāng)時,
的半徑為定值
.
(ⅱ)當(dāng)的圓心為
時,顯然
在軌跡
上,
此時的半徑為
,其反演圓
圓心為
,半徑為
,
由題意,與相切的反演圓
的圓心為
,或
,半徑為
;
1)當(dāng)的圓心為
時,易知
與
重合,
其方程為,
,故
相切;
2)當(dāng)的圓心為
時,
三點共線,
為直線
與橢圓
的交點,
的方程為:
,故
,
又,
的半徑
,
,故
相切.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市甲、乙兩地為了爭創(chuàng)“市級文明城市”,現(xiàn)市文明委對甲、乙兩地各派10名專家進(jìn)行打分評優(yōu),所得分?jǐn)?shù)情況如下莖葉圖所示.
(1)分別計算甲、乙兩地所得分?jǐn)?shù)的平均值,并計算乙地得分的中位數(shù);
(2)從乙地所得分?jǐn)?shù)在間的成績中隨機(jī)抽取2份做進(jìn)一步分析,求所抽取的成績中,至少有一份分?jǐn)?shù)在
間的概率;
(3)在甲、乙兩地所得分?jǐn)?shù)超過90分的成績中抽取其中2份分析其合理性,求這2份成績都是來自甲地的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)且
,函數(shù)
在點
處的切線過點
.
(1) 求滿足的關(guān)系式,并討論函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(2)已知,若函數(shù)
在
上有且只有一個零點,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的圖像經(jīng)過點
,且
的相鄰兩個零點的距離為
,為得到
的圖像,可將
圖像上所有點( )
A.先向右平移個單位,再將所得圖像上所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的
,縱坐標(biāo)不變
B.先向左平移個單位,再將所得圖像上所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的
,縱坐標(biāo)不變
C.先向左平移個單位,再將所得圖像上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍,縱坐標(biāo)不變
D.先向右平移個單位,再將所得圖像上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍,縱坐標(biāo)不變
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)用分段函數(shù)的形式表示函數(shù)的解析式,并畫出
在
上的大致圖像;
(2)若關(guān)于x的方程恰有一個實數(shù)解,求出實數(shù)m的取值范圍組成的集合;
(3)當(dāng)時,求函數(shù)
的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱錐 P - ABCD 中,銳角三角形 PAD 所在平面垂直于平面 PAB,AB⊥AD,AB⊥BC。
(1) 求證:BC∥平面 PAD;
(2) 平面 PAD⊥ 平面 ABCD.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(
).
(Ⅰ)若曲線上點
處的切線過點
,求函數(shù)
的單調(diào)減區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)在
上無零點,求
的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】曙光中學(xué)團(tuán)委組織了“弘揚(yáng)奧運精神,愛我中華”的知識競賽,從參加考試的學(xué)生中抽出名學(xué)生,將其成績(均為整數(shù))分成六段
,
,
,
后畫出如下部分頻率分布直方圖,則第四小組的頻率為_______,從成績是
和
的學(xué)生中選兩人,他們在同一分?jǐn)?shù)段的概率_______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形中,
,
,
為邊
的中點.將△
沿
翻折,得到四棱錐
.設(shè)線段
的中點為
,在翻折過程中,有下列三個命題:
① 總有平面
;
② 三棱錐體積的最大值為
;
③ 存在某個位置,使與
所成的角為
.
其中正確的命題是____.(寫出所有正確命題的序號)
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