Question

已知△ABC的三個內角A，B，C的對邊依次為a，b，c，外接圓半徑為1，且滿足

tanA

tanB

=

2c-b

b

，則△ABC面積的最大值為

 

．

Answer 1

考點：正弦定理,余弦定理

專題：計算題,解三角形

分析：利用同角三角函數間的基本關系化簡已知等式的左邊，利用正弦定理化簡已知的等式右邊，整理后利用兩角和與差的正弦函數公式及誘導公式化簡，根據sinC不為0，可得出cosA的值，然后利用余弦定理表示出cosA，根據cosA的值，得出bc=b²+c²-a²，再利用正弦定理表示出a，利用特殊角的三角函數值化簡后，再利用基本不等式可得出bc的最大值，進而由sinA的值及bc的最大值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC面積的最大值．

解答： 解：由r=1，利用正弦定理可得：c=2rsinC=2sinC，b=2rsinB=2sinB，
∵tanA=

sinA

cosA

，tanB=

sinB

cosB

，
∴

tanA

tanB

=

sinAcosB

cosAsinB

=

4sinC-2sinB

2sinB

=

2sinC-sinB

sinB

，
∴sinAcosB=cosA（2sinC-sinB）=2sinCcosA-sinBcosA，
即sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC=2sinCcosA，
∵sinC≠0，∴cosA=

1

2

，即A=

π

3

，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
∴bc=b²+c²-a²=b²+c²-（2rsinA）²=b²+c²-3≥2bc-3，
∴bc≤3（當且僅當b=c時，取等號），
∴△ABC面積為S=

1

2

bcsinA≤

1

2

×3×

3

2

=

3 3

4

，
則△ABC面積的最大值為：

3 3

4

．
故答案為：

3 3

4

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，同角三角函數間的基本關系，兩角和與差的正弦函數公式，誘導公式，三角形的面積公式，以及基本不等式的運用，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵，屬于中檔題．