Question

已知直線l的參數(shù)方程為

x= 1 2 t y=1+ 3 2 t

（t為參數(shù)）．曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2

2

sin(θ+

π

4

)．直線l與曲線C交于A，B兩點，與y軸交于點 P．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）求

1

|PA|

+

1

|PB|

的值．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）由曲線C的極坐標(biāo)方程ρ=2

2

sin(θ+

π

4

)，展開為ρ2=2

2

×

2

2

(ρsinθ+ρcosθ)，把

x=ρcosθ y=ρsinθ

代入即可得出；
（2）設(shè)直線與曲線C交于A，B兩點，與y軸交于點P，把直線的參數(shù)方程

x= 1 2 t y=1+ 3 2 t

(t為參數(shù))，代入曲線C的普通方程（x-1）²+（y-1）²=2中，得t²-t-1=0，得到根與系數(shù)的關(guān)系，利用直線參數(shù)的意義即可得出．

解答： 解：（1）由曲線C的極坐標(biāo)方程ρ=2

2

sin(θ+

π

4

)，展開為ρ2=2

2

×

2

2

(ρsinθ+ρcosθ)，ρ²=2ρsinθ+2ρcosθ，
∴普通方程是x²+y²=2y+2x，
即（x-1）²+（y-1）²=2．
（2）設(shè)直線與曲線C交于A，B兩點，與y軸交于點P，
把直線的參數(shù)方程

x= 1 2 t y=1+ 3 2 t

(t為參數(shù))，代入曲線C的普通方程（x-1）²+（y-1）²=2中，
得t²-t-1=0，
∴

t1+t2=1 t1•t2=-1

，
∴

1

|PA|

+

1

|PB|

=

1

|t1|

+

1

|t2|

=

|t1-t2|

|t1•t2|

=

(t1+t2)2-4t1t2

=

5

．

點評：本題考查了把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線與曲線的交點、直線參數(shù)方程的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．