Question

已知函數(shù)f（x）=a•e^x+．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若對于任意的x∈（0，+∞），恒有f（x）≥0成立，求a的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）當(dāng)a=1時，f（x）=e^x+-4，∴f′（x）=e^x-，∴f′（1）=e-2，
∵f（1）=e-2，
∴f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為：（e-2）x-y=0．
（Ⅱ）∵f（x）=a•e^x+．
∴f′（x）=，
令g（x）=ax²e^x-（a+1），則g′（x）=ax（2+x）e^x＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∵g（0）=-（a+1）＜0，當(dāng)x→+∞時，g（x）＞0，
∴存在x₀∈（0，+∞），使g（x₀）=0，且f（x）在（0，x₀）上單調(diào)遞減，f（x）在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增，
∵g（x₀）=-（a+1）=0，∴=a+1，即=，
∵對于任意的x∈（0，+∞），恒有f（x）≥0成立，
∴f（x）_min=f（x₀）=+-2（a+1）≥0，∴-2（a+1）≥0，
∴，∴0，解得-≤x₀≤1，
∵=a+1，∴=＞1，
令h（x₀）=，而h（0）=0，當(dāng)x₀→+∞時，h（x₀）→+∞，
∴存在m∈（0，+∞），使h（m）=1，
∵h（x₀）=在（0，+∞）上，∴x₀＞m，
∴m＜x₀≤1，
∵h（x₀）=在（m，1]上∴h（m）＜h（x₀）≤h（1），
∴1＜≤e，∴a≥．
分析：（Ⅰ）當(dāng)a=1時求出f（x），求導(dǎo)f′（x），切線斜率k=f′（1），f（1）=e-2，利用點斜式即可求得切線方程；
（Ⅱ）對于任意的x∈（0，+∞），恒有f（x）≥0成立，等價于f（x）_min≥0，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性、極值，從而確定其最小值，其中為判定導(dǎo)數(shù)符號需要構(gòu)造函數(shù)．
點評：本題考查曲線上某點處切線方程的求解及函數(shù)恒成立問題，考查學(xué)生綜合運用知識分析解決問題的能力，正確理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義是關(guān)鍵，至于恒成立問題常常轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值處理，本題綜合性強，難度大．