Question

【題目】已知函數(shù)，（）.

（Ⅰ）若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）設(shè)，若，若函數(shù)對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（是自然對數(shù)的底數(shù)，）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）首先確定函數(shù)定義域?yàn)?/span>，求出導(dǎo)數(shù)；當(dāng)時(shí)，可知函數(shù)單調(diào)遞增，根據(jù)可知滿足題意；當(dāng)時(shí)，可求得導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)；當(dāng)零點(diǎn)可知滿足題意；當(dāng)或結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在性定理可判斷出存在不止一個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意；綜合上述情況得到結(jié)果；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，可知，得到，滿足題意；當(dāng)時(shí)，根據(jù)符號可知單調(diào)遞增，由零點(diǎn)存在性定理可驗(yàn)證出，使得，從而得到在上單調(diào)遞減，則，不滿足題意，從而得到結(jié)果.

（Ⅰ）由題意得：定義域?yàn)?/span>，則

①當(dāng)時(shí)，恒成立 在上單調(diào)遞增

又 有唯一零點(diǎn)，即滿足題意

②當(dāng)時(shí)

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

⑴當(dāng)，即時(shí)，，有唯一零點(diǎn)，滿足題意

⑵當(dāng)，即時(shí)，

又，且

，使得，不符合題意

⑶當(dāng)，即時(shí)，

設(shè)，，則

在上單調(diào)遞增 ，即

又 ，使得，不符合題意

綜上所述：的取值范圍為：

（Ⅱ）由題意得：，則，

①當(dāng)時(shí)，由得：恒成立

在上單調(diào)遞增

即滿足題意

②當(dāng)時(shí)，恒成立 在上單調(diào)遞增

又，

，使得

當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減

，則不符合題意

綜上所述：的取值范圍為：