Question

如圖，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=2，M，N分別是棱CC₁，AB的中點．
（Ⅰ）求證：平面MCN⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）求證：CN∥平面AMB₁．

Answer 1

解：（I）∵AA₁⊥平面ABC，CN⊆平面ABC，∴AA₁⊥CN
∵△ABC中，AC=BC，N為AB的中點，∴AB⊥CN
∵AA₁、AB是平面ABB₁A₁內的相交直線
∴CN⊥平面ABB₁A₁
∵CN⊆平面MCN，
∴平面MCN⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）取AB₁中點G，連接GM、GN
∵△AB₁B中，G、N分別是AB₁、AB的中點
∴GN∥BB₁，且GN=BB₁，
又∵平行四邊形BCC₁B₁中，M為CC₁中點
∴CM∥BB₁，且CM=BB₁，
∴GN∥CM且GN=CM，可得四邊形CMGN是平行四邊形
∴GM∥CN
∵GM⊆平面AMB₁，CN?平面AMB₁
∴CN∥平面AMB₁．
分析：（I）在△ABC中，由“三線合一”可證出AB⊥CN，再根據直三棱柱的性質結合線面垂直的定義，可得AA₁⊥CN，從而得到CN⊥平面ABB₁A₁，結合面面垂直的判定定理，可證出平面MCN⊥平面ABB₁A₁；
（II）取AB₁中點G，連接GM、GN．利用三角形中位線定理，結合平行四邊形BCC₁B₁中，CM∥BB₁且CM=BB₁，從而得到四邊形CMGN是平行四邊形，所以GM∥CN，最后用線面平行的判定定理，即可證出CN∥平面AMB₁．
點評：本題以底面為等腰三角形的直三棱柱，求證面面垂直并且證明線面平行，著重考查了線面垂直、面面垂直和判定與性質和線面平行的判定定理等知識，屬于基礎題．