Question

20．已知命題p：f（x）=lg（x²+ax+1）的定義域為R，命題q：關(guān)于x 的不等式x+|x-2a|＞1的解集為R，若“p或q”為真，“p且q”為假，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 命題p：關(guān)于x的不等式x²+ax+1＞0恒成立，則△＜0；q：關(guān)于x的不等式x+|x-2a|＞1的解集為R，則2a＞1，若“p或q”為真，“p且q”為假，可得p與q必然一真一假，求解不等式組即可得答案．

解答 解：p為真命題時：關(guān)于x的不等式x²+ax+1＞0恒成立，則△=a²-4＜0，解得-2＜a＜2；
q為真命題時：令g（x）=x+|x-2a|=$\left\{\begin{array}{l}{2x-2a，x≥2a}\\{2a，x＜2a}\end{array}\right.$，∴g（x）_min=2a．
∵關(guān)于x的不等式x+|x-2a|＞1的解集為R，∴2a＞1即a＞$\frac{1}{2}$．
又“p或q”為真，“p且q”為假，
∴p與q必然一真一假．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2＜a＜2}\\{a≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a≤-2或a≥2}\\{a＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得$-2＜a≤\frac{1}{2}$或a≥2．
∴實數(shù)a的取值范圍是-2＜a≤$\frac{1}{2}$或a≥2．

點評 本題考查了不等式的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了函數(shù)恒成立問題，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．