Question

3．已知點(diǎn)P（2，1）．
（1）求過(guò)P點(diǎn)與原點(diǎn)距離為2的直線l的方程；
（2）求過(guò)P點(diǎn)與原點(diǎn)距離最大的直線l的方程，最大距離是多少？

Answer 1

分析 （1）直線已過(guò)一點(diǎn)，考慮斜率不存在時(shí)是否滿(mǎn)足條件，在利用待定系數(shù)法根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式建立等量關(guān)系，求出斜率；
（2）過(guò)P點(diǎn)與原點(diǎn)O距離最大的直線是過(guò)P點(diǎn)且與PO垂直的直線，求出斜率，利用點(diǎn)斜式可得直線方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出距離即可．

解答 解：（1）過(guò)P點(diǎn)的直線l與原點(diǎn)距離為2，而P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），
故過(guò)P（2，1）垂直于x軸的直線滿(mǎn)足條件．
此時(shí)l的斜率不存在，其方程為x=2．
若斜率存在，設(shè)l的方程為y-1=k（x-2），即kx-y-2k+1=0．
由已知，過(guò)P點(diǎn)與原點(diǎn)距離為2，得 $\frac{|-2k+1|}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$=2，解之得k=$\frac{3}{4}$．
此時(shí)l的方程為3x-4y-2=0．綜上，可得直線l的方程為x=2或3x-4y-2=0．
（2）作圖可證過(guò)P點(diǎn)與原點(diǎn)O距離最大的直線是過(guò)P點(diǎn)且與PO垂直的直線，由l⊥OP，得k_l•k_OP=-1，
所以k_l=-$\frac{1}{{K}_{OP}}$=2．由直線方程的點(diǎn)斜式得y-1=2（x-2），即2x-y-3=0，
即直線2x-y-3=0是過(guò)P點(diǎn)且與原點(diǎn)O距離最大的直線，最大距離為 $\frac{|-3|}{\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線的一般方程，以及兩點(diǎn)之間的距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．