Question

已知f（x）=

ax+b

x2+1

是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，

1

2

）．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）求證：y=f（x）在（1，+∞）是減函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)過(guò)點(diǎn)（0，0）代入可求得b的值，再根據(jù)函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)（1，

1

2

），從而求出a值；
（2）由（1）知道函數(shù)的解析式，要證y=f（x）在（1，+∞）是減函數(shù)，只需要證f′（x）在（1，+∞）上小于0即可；

解答：（1）解：因?yàn)閒（x）=

ax+b

x2+1

是定義在R上的奇函數(shù)
所以f（0）=0
所以b=0
又因?yàn)閒（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，

1

2

），
所以 f（1）=

a

2

=

1

2

所以a=1，b=0
（2）∵f（x）=

x

x2+1

，
∴f′（x）=

x2+1-2x×x

(x2+1)2

=

-x2+1

(x2+1)2

，
∵x＞1，可得-x²+1＜0，
可以推出f′（x）＜0，在（1，+∞）上成立，
∴y=f（x）在（1，+∞）是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查函數(shù)的奇偶性以及利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性，這是一種新的工具，本題比較簡(jiǎn)單；