Question

【題目】如圖在四面體ABCD中，若截面PQMN是正方形，則在下列命題中正確的有 ．（填上所有正確命題的序號(hào)）
①AC⊥BD
②AC=BD
③AC∥截面PQMN
④異面直線PM與BD所成的角為45°．

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：在四面體ABCD中，∵截面PQMN是正方形，∴PQ∥MN，PQ平面ACD，MN平面ACD，∴PQ∥平面ACD．
∵平面ACB∩平面ACD=AC，∴PQ∥AC，可得AC∥平面PQMN．
同理可得BD∥平面PQMN，BD∥PN．
∵PN⊥PQ，∴AC⊥BD．
由BD∥PN，
∴∠MPN是異面直線PM與BD所成的角，且為45°．
由上面可知：BD∥PN，PQ∥AC．
∴
而AN≠DN，PN=MN，
∴BD≠AC．
綜上可知：①③④都正確．
所以答案是：①③④．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用命題的真假判斷與應(yīng)用和異面直線及其所成的角的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系；異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn)，作另一條的平行線；2、補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系．