Question

10．等差數列{a_n}前n項和為S_n，若b_n=$\frac{1}{S_n}$，a₃b₃=$\frac{1}{2}$，S₅+S₃=21
（1）求S_n
（2）記T_n=$\sum_{i=1}^n{b_i}$，求T_n．

Answer 1

分析 （1）設公差為d，根據前n項和公式和通項公式，即可求出首項和公差，再利用等差數列的前n項和公式計算即可，
（2）利用“裂項求和”即可得出．

解答 解：（1）設公差為d，
∵b_n=$\frac{1}{S_n}$，a₃b₃=$\frac{1}{2}$，
∴b₃=$\frac{1}{{S}_{3}}$=$\frac{1}{2{a}_{3}}$，
∴S₃=2a₃，
∴3a₁+3d=2a₁+4d
∴a₁=d，
∵S₅+S₃=21，
∴5a₁+10d+3a₁+3d=21，
∴21d=21，
∴d=1，
∴a₁=1，
∴S_n=n+$\frac{n（n-1）}{2}$=$\frac{n（n+1）}{2}$，
（2）b_n=$\frac{1}{S_n}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴T_n=$\sum_{i=1}^n{b_i}$=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=2（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{2n}{n+1}$

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式前n項公式、“裂項求和”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．